Vendredi 27 juillet 2007
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Le calcul différentiel et intégral a été développé de façon indépendant à la fois par Newton et Leibniz. Il s'agit d'un piuissant outil pour analyser les fonctions, mais aussi qui a de nombreuses applications en physique.
Qu'est-ce qu'une dérivée? La dérivée d'une fonction représente tout simplement le taux de variation de la tangente à la fonction en tout points. Prenons par exemple la fonction f(x) = x². Construisons un tableau des valeurs de f associées aux différentes valeurs de x.
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x
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f(x)
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0
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0
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1
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1
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2
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4
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3
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9
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4
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16
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25 |
Entre le point x=0 et x=1, la variation de f(x) est de 1.Entre x=1 et x=2, elle est de 3. Entre x=2 et x=3, elle est de 5. Entre x=3 et x=4, elle est de 7, etc. Si on remarque la variation de la variation est toujours de 2. C'est ça la dérivée.
Définition formelle de la dérivée d'une fonction:
Soit une fonction f(x). La dérivée de cette fonction, notée f'(x) ou bien df(x)/dx est:
Exemple avec f(x) = x²
On voit bien ici que la dérivée nous donne une autre fonction, une droite cette fois-ci avec un taux de variation constant de 2 comme nous avons vu plus haut.
Bien sûr, ce processus est assez long... surtout lorsqu'on a affaire à des fonctions plus complexes. Alors il existe certaines régles
- Soit f(x) = xn. f'(x) = nxn-1
- Soit f(x) = cg(x). f'(x) = cg'(x)
-Soit f(x) = g(x) + h(x). f'(x) = g'(x) + h'(x)
- Soit f(x) = g(x)h(x). f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)
- Soit f(x) = g(x)/h(x). f'(x)= (g'(x)h(x) - h'(x)g(x))/h(x)²
- Soit f(x) = g(h(x)). f'(x) = g'(h(x))h'(x)
Toutes ces règles se démontrent à partir de la définition. Elles simplifient de beaucoup le processus de dérivation. Par exemple,
Soit f(x) = (x² + 3x - 4)²
f'(x) = 2(x² + 3x - 4)(x² + 3x - 4)'
f'(x) = 2(x² + 3x - 4)(2x + 3)
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