Faisons un bout de chemin ensemble...
Tiens de la visite... Que faîtes-vous ici?
Perdu vous aussi?
Oui, il fait noir... Mais allons vers la lumière là-bas... Les étoiles nous guideront; notre chemin sera parsemé des plus grandes merveilles scientifiques des incroyables mathématiques à un peu de biologie parfois en passant par l'intriguante physique et l'étrange chimie. Parfois, nous pourrons tomber sur une petite parenthèse littéraire.
Quoi? Vous dîtes? Qu'est-ce que cette lumière rayonnante là-bas?
Bonne question... Allons voir!
La célèbre formule d'Euler, formule fascinante et dont la beauté ne peut que toucher tous les amoureux des mathématiques est d'une simplicité désarmante.
eip + 1 = 0
Faisons une preuve courte et simple.
Nous savons que le développement en série de Taylor des fonctions exponentielle, cosinus et sinus converge vers ces fonctions pour tout les réels.
Pour sinus, Pn(x) = x - x3/3! + x5/5! - x7/7! + x9/9! + ...
Pour cosinus, Pn(x) = 1 - x2/2! + x4/4! - x6/6! - x8/8! + ...
Développons la fonction eix:
f(x) = eix, f(0) = 1
f'(x) = ieix, f'(0) = i
f''(x) = i2eix, f''(0) = -1 (puisque i2 = -1 par définition)
f'''(x) = i3eix, f'''(0) = -i
f(4)(x) = i4eix, f(4)(0) = 1
f(5)(x) = i5eix, f(5)(0) = i
etc.
Donc, eix = 1 + ix - x2/2 - ix3/3! + x4/4! + ix5/5! - x6/6! - ix7/7! + x8/8! + x9/9! +....
eix = 1 - x2/2 + x4/4! - x6/6! + x8/8! +.... + ix - ix3/3! + ix5/5! - ix7/7! + ix9/9! + ...
eix = 1 - x2/2 + x4/4! - x6/6! + x8/8! +.... + i[x - x3/3! + x5/5! - x7/7! + x9/9! + ...]
eix = cosx + isinx
En remplacant x par p, nous avons cosp = -1 et sinp = 0 et donc eip = -1
Et ainsi
eip + 1 = 0
Ce qui fait toute la beauté de cette simple formule est le lien qu'elle entre les différentes branches des mathématiques.
En effet, nous avons le e, la base naturel qui vient de l'analyse, le i le nombre imaginaire qui vient de l'algèbre, p qui vient de la géométrie et le 1 et le 0 qui viennent de la théorie des nombres. Le tout dans une seule petite formule.
Nos paroles et nos pensées peuvent nous tuer à petit feu.
Jonathan Millette, 2003, plomb
