Entre Math et Physique, réflexions d'étudiante

Tiens de la visite... Que faîtes-vous ici?

Perdu vous aussi?

Oui, il fait noir... Mais allons vers la lumière là-bas... Les étoiles nous guideront; notre chemin sera parsemé des plus grandes merveilles scientifiques des incroyables mathématiques à un peu de biologie parfois en passant par l'intriguante physique et l'étrange chimie. Parfois, nous pourrons tomber sur une petite parenthèse littéraire.

Quoi? Vous dîtes? Qu'est-ce que cette lumière rayonnante là-bas?

Bonne question... Allons voir!

Le calcul différentiel et intégral a été développé de façon indépendant à la fois par Newton et Leibniz. Il s'agit d'un piuissant outil pour analyser les fonctions, mais aussi qui a de nombreuses applications en physique.

Qu'est-ce qu'une dérivée? La dérivée d'une fonction représente tout simplement le taux de variation de la tangente à la fonction en tout points. Prenons par exemple la fonction f(x) = x². Construisons un tableau des valeurs de f associées aux différentes valeurs de x.

Entre le point x=0 et x=1, la variation de f(x) est de 1.Entre x=1 et x=2, elle est de 3. Entre x=2 et x=3, elle est de 5. Entre x=3 et x=4, elle est de 7, etc. Si on remarque la variation de la variation est toujours de 2. C'est ça la dérivée.

Définition formelle de la dérivée d'une fonction:

Soit une fonction f(x). La dérivée de cette fonction, notée f'(x) ou bien df(x)/dx est:

Exemple avec f(x) = x²

On voit bien ici que la dérivée nous donne une autre fonction, une droite cette fois-ci avec un taux de variation constant de 2 comme nous avons vu plus haut.

 Bien sûr, ce processus est assez long... surtout lorsqu'on a affaire à des fonctions plus complexes. Alors il existe certaines régles

- Soit f(x) = xⁿ.  f'(x) = nx^n-1

- Soit f(x) = cg(x). f'(x) = cg'(x)

-Soit f(x) = g(x) + h(x).  f'(x) = g'(x) + h'(x)

- Soit f(x) = g(x)h(x). f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)

- Soit f(x) = g(x)/h(x). f'(x)= (g'(x)h(x) - h'(x)g(x))/h(x)²

- Soit f(x) = g(h(x)).  f'(x) = g'(h(x))h'(x)

Toutes ces règles se démontrent à partir de la définition. Elles simplifient de beaucoup le processus de dérivation. Par exemple,

Soit f(x) = (x² + 3x - 4)²

f'(x) = 2(x² + 3x - 4)(x² + 3x - 4)'

f'(x) = 2(x² + 3x - 4)(2x + 3)

Silence
Que tout s'arrête
Que plus rien ne fasse le moindre bruit
Que plus rien ne bouge pour que je puisse les entendre
Pour que je puisse entendre les équations différentielles me chanter leurs secrets.

Mes chères équations différentielles!
Parlez-moi!
Racontez-moi l'histoire de vos fonctions, elle est toujours si belle!
Chuchotez vos mystères à mon oreille
Confiez-moi la clef de votre résolution
Je veux tout savoir

Si j'en suis indigne
Criez-le à mon esprit
Je partirai en quête des moyens, de l'expérience
Pour revenir vous écouter

Ne me tournez pas le dos
Je vous aime tant!