Les axiomes fondamentaux des réels

Depuis le tout début de l'apprentissage au primaire, les enfants travaillents avec les nombres. D'abord avec les nombres naturels (N = {1,2,3,4,...}), ensuite les nombres rationnels positifs (Q = {1/2, 1, 1,6666666, 53/12, ...}) ensuite viennent les nombres entiers (Z = {-1,0,1,2,...}) suivis des nombres réels, les fameux nombres réels (R) avec les irrationnels comme racine(2), p, e.
Après si on continu à étudier en sciences viennent les nombres complexes.

Mais au fait, c'est quoi ça un nombre? Qu'est-ce qui défini les réels? Le cours d'Analyse à l'université est un retour à la source. Il s'agit de repartir du tout début, d'oublier toutes les notions précédentes, et avec la logique acquise reconstruire les réels à partir des axiomes de bases. Ces axiomes ne se prouvent pas. On peut démontrer théorèmes, propositions, lemme, corollaires à partir de ces axiomes mais les axiomes en eux-même sont admis comme étant vrais et tout part de là. 

Pour construire les réels, nous avons besoin de 11 axiomes.

L'ensemble R est muni de deux opérations de bases:
-L'addition  +: RxR -> R (transformation de R dans R)
                         (x,y) -> x+y
-La multiplication   * : RxR -> R (transformation de R dans R)
                                       (x,y) -> x*y
Ces deux opérations vérifient les axiomes suivants:
(A0) Fermeture: Pour tout x,y dans R, il existe un unique élément de R noté x+y
(A1) Commutativité: Pour tout x,y dans R, x+y = y+x
(A2) Associativité: Pour tout x,y,z dans R, (x+y)+z = x+(y+z)
(A3) Neutre additif: Il existe un unique élément neutre pour l'addition, noté 0 tel que pour tout x dans R x+0=x
(A4)Inverse additif: Pour tout x dans R, il existe un élément de R noté -x tel que x + (-x) = 0

(M0)Fermeture: Pour tout x,y dans R, il existe un unique élément de R noté x*y
(M1) Commutativité: Pour tout x,y dans R, x*y = y*x
(M2) Associativité: Pour tout x,y,z dans R, (x*y)*z = x*(y*z)
(M3) Neutre additif: Il existe un unique élément neutre pour l'addition, noté 1 tel que pour tout x dans R x*1=x
(M4)Inverse additif: Pour tout x dans R sauf 0, il existe un élément de R noté x^-1 tel que x (x^-1) = 1

(D) Distributivité: Pour tout x,y,z dans R, x*(y+z) = x*y + x*z

(O) Ordre: l'ensemble des nombres réels est muni d'une relation d'ordre notée > qui vérifie
- 1 > 0
-Pour tout x dans R une et une seule des affirmations suivantes est vrai, x>0 x=0 0>x
-Pour tout x,y plus grand que zéro dans R, x+y >0 x*y >0

[Remarque amusante: C l'ensemble des nombres complexes ne vérifie pas (O)]
[Autre remarque amusante: Avec juste ces axiomes-là, on peut définir les nombres rationnels.]

(C) Complétude: Tout ensemble E inclus dans R non vide et borné supérieurement admet un supremum réel.

[Petite parenthèse explicative: Soit un ensemble E. E est borné supérieurement s'il existe un M dans R tel que M>ou égal à x pour tout x dans E. Le supremum de E (noté supE) est la plus petite borne supérieur de E. Autrement dit, supE=d si d<ou égal à M pour tout M borne supérieur de E]

Donc les réels, ce sont tous les nombres  qui vérifient tous ces axiomes.