Constructions géométriques et triangle de Pascal

Le triangle de Pascal est un petit amusement mathématique. Il s'agit d'inscrire les coefficients d'un développement binômial sous forme de triangle. En d'autres termes, si on prend une expression algébrique de la forme (x+y)ⁿ et qu'on développe selon des n donnés, on peut l'écrire sous forme de triangle où chaque étage correpsond à un n. Par exemple:
(n=0) 1
(n=1) 1 1
(n=2) 1 2 1
(n=3) 1 3 3 1
(n=4) 1 4 6 4 1
..........

Bon alors, quel est le rapport entre ça et les constructions géométriques? Attendez un peu de voir toute la beauté des mathématiques.
 
Prenons une série de constructions que j'appelle "carrée" en augmentant de dimension à chaque fois. Nous avons le point (dimension 0), le segment (dimension 1), le carré (dimension 2), le cube (dimension 3), etc. comme illustré ci-dessous:

 

Observons comment nous pouvons construire ces figures. On commence par le point et pourobtenir le segment, il suffit de doubler le point et de relier. Pour le carré, on double le segment et on relient les points correspondants. Pour le cube, on double le carré et on double les points correspondants. Donc, la figure suivante à 4 dimensions que l'on appelle hypercube est obtenue en doublant le cube et en reliant les points correspondant. Par contre, nous ne pouvons qu'en avoir une représentation limitée puisque nous vivons dans un espace à trois dimensions, ça demeureun objet abstrait et que nous ne percevons que partiellement sur notre plan en 3D. C'est un peu comme si on essayait de représenter un cube sur une feuille comme en ce moment. Le cube - objet en 3 dimensions - est constraint à un espace à 2 dimensions. Il est donc incomplet. 

Voici toutefois à quoi ressemble le dessin d'un hypercube:
 

Ainsi donc, voici venu le moment tant attendu avec une si vive impatience: c'est quoi le lien entre ça et les triangles de Pascal?
Faisons la liste des éléments de nos figures:
point: 1 sommet
segment: 2 sommets, 1 segment
carré: 4 sommets, 4 segments, 1 aire
cube: 8 sommets, 12 segments, 6 aires, 1 volume
hypercube: 16 sommets, 32 segments, 24 aires, 8 volumes, 1 hypervolume
(vous me voyez venir hein? en pasant si vous voyez les 8 volumes de l'hypercube; bravo! C'est tout un tour de force pour les yeux et l'esprit.)

Alors nous pouvons écrire ceci comme un triangle de Pascal:

1
2 1
4 4 1
8 12 6 1
16 32 24 8 1

Remarquons que par simple intuiton, on peut deviner quel binôme donne ce triangle. Il s'agit de (2x+y)ⁿ

Remarquons que les nombres dans ce triangle de Pascal sont obtenus simplement en prenant deux fois le nombre imméditatement au-dessus plus celui directement à gauche en haut.

De toute beauté n'est-ce pas?

Pour en savoir plus sur le triangle de Pascal, consulter ce cher ami wikipédia