Faisons un bout de chemin ensemble...
Tiens de la visite... Que faîtes-vous ici?
Perdu vous aussi?
Oui, il fait noir... Mais allons vers la lumière là-bas... Les étoiles nous guideront; notre chemin sera parsemé des plus grandes merveilles scientifiques des incroyables mathématiques à un peu de biologie parfois en passant par l'intriguante physique et l'étrange chimie. Parfois, nous pourrons tomber sur une petite parenthèse littéraire.
Quoi? Vous dîtes? Qu'est-ce que cette lumière rayonnante là-bas?
Bonne question... Allons voir!
(n=0) 1
(n=1) 1 1
(n=2) 1 2 1
(n=3) 1 3 3 1
(n=4) 1 4 6 4 1
..........
Bon alors, quel est le rapport entre ça et les constructions géométriques? Attendez un peu de voir toute la beauté des mathématiques.
Prenons une série de constructions que j'appelle "carrée" en augmentant de dimension à chaque fois. Nous avons le point (dimension 0), le segment (dimension 1), le carré (dimension 2), le cube (dimension 3), etc. comme illustré ci-dessous:
Observons comment nous pouvons construire ces figures. On commence par le point et pourobtenir le segment, il suffit de doubler le point et de relier. Pour le carré, on double le
segment et on relient les points correspondants. Pour le cube, on double le carré et on double les points correspondants. Donc, la figure suivante à 4 dimensions que l'on appelle hypercube
est obtenue en doublant le cube et en reliant les points correspondant. Par contre, nous ne pouvons qu'en avoir une représentation limitée puisque nous vivons dans un espace à trois dimensions,
ça demeureun objet abstrait et que nous ne percevons que partiellement sur notre plan en 3D. C'est un peu comme si on essayait de représenter un cube sur une feuille comme en ce moment. Le
cube - objet en 3 dimensions - est constraint à un espace à 2 dimensions. Il est donc incomplet.
Voici toutefois à quoi ressemble le dessin d'un hypercube:
Ainsi donc, voici venu le moment tant attendu avec une si vive impatience: c'est quoi le lien entre ça et les triangles de Pascal?
Faisons la liste des éléments de nos figures:
point: 1 sommet
segment: 2 sommets, 1 segment
carré: 4 sommets, 4 segments, 1 aire
cube: 8 sommets, 12 segments, 6 aires, 1 volume
hypercube: 16 sommets, 32 segments, 24 aires, 8 volumes, 1 hypervolume
(vous me voyez venir hein? en pasant si vous voyez les 8 volumes de l'hypercube; bravo! C'est tout un tour de force pour les yeux et l'esprit.)
Alors nous pouvons écrire ceci comme un triangle de Pascal:
1
2 1
4 4 1
8 12 6 1
16 32 24 8 1
Remarquons que par simple intuiton, on peut deviner quel binôme donne ce triangle. Il s'agit de (2x+y)n
Remarquons que les nombres dans ce triangle de Pascal sont obtenus simplement en prenant deux fois le nombre imméditatement au-dessus plus celui directement à gauche en haut.
De toute beauté n'est-ce pas?
Pour en savoir plus sur le triangle de Pascal, consulter ce cher ami wikipédia
Après si on continu à étudier en sciences viennent les nombres complexes.
Mais au fait, c'est quoi ça un nombre? Qu'est-ce qui défini les réels? Le cours d'Analyse à l'université est un retour à la source. Il s'agit de repartir du tout début, d'oublier toutes les notions précédentes, et avec la logique acquise reconstruire les réels à partir des axiomes de bases. Ces axiomes ne se prouvent pas. On peut démontrer théorèmes, propositions, lemme, corollaires à partir de ces axiomes mais les axiomes en eux-même sont admis comme étant vrais et tout part de là.
Pour construire les réels, nous avons besoin de 11 axiomes.
L'ensemble R est muni de deux opérations de bases:
-L'addition +: RxR -> R (transformation de R dans R)
(x,y) -> x+y
-La multiplication * : RxR -> R (transformation de R dans R)
(x,y) -> x*y
Ces deux opérations vérifient les axiomes suivants:
(A0) Fermeture: Pour tout x,y dans R, il existe un unique élément de R noté x+y
(A1) Commutativité: Pour tout x,y dans R, x+y = y+x
(A2) Associativité: Pour tout x,y,z dans R, (x+y)+z = x+(y+z)
(A3) Neutre additif: Il existe un unique élément neutre pour l'addition, noté 0 tel que pour tout x dans R x+0=x
(A4)Inverse additif: Pour tout x dans R, il existe un élément de R noté -x tel que x + (-x) = 0
(M0)Fermeture: Pour tout x,y dans R, il existe un unique élément de R noté x*y
(M1) Commutativité: Pour tout x,y dans R, x*y = y*x
(M2) Associativité: Pour tout x,y,z dans R, (x*y)*z = x*(y*z)
(M3) Neutre additif: Il existe un unique élément neutre pour l'addition, noté 1 tel que pour tout x dans R x*1=x
(M4)Inverse additif: Pour tout x dans R sauf 0, il existe un élément de R noté x-1 tel que x (x-1) = 1
(D) Distributivité: Pour tout x,y,z dans R, x*(y+z) = x*y + x*z
(O) Ordre: l'ensemble des nombres réels est muni d'une relation d'ordre notée > qui vérifie
- 1 > 0
-Pour tout x dans R une et une seule des affirmations suivantes est vrai, x>0 x=0 0>x
-Pour tout x,y plus grand que zéro dans R, x+y >0 x*y >0
[Remarque amusante: C l'ensemble des nombres complexes ne vérifie pas (O)]
[Autre remarque amusante: Avec juste ces axiomes-là, on peut définir les nombres rationnels.]
(C) Complétude: Tout ensemble E inclus dans R non vide et borné supérieurement admet un supremum réel.
[Petite parenthèse explicative: Soit un ensemble E. E est borné supérieurement s'il existe un M dans R tel que M>ou égal à x pour tout x dans E. Le supremum de E (noté supE) est la plus petite borne supérieur de E. Autrement dit, supE=d si d<ou égal à M pour tout M borne supérieur de E]
Donc les réels, ce sont tous les nombres qui vérifient tous ces axiomes.
